La jirafa logarítmica

Los datos de cualquier fenómeno se pueden representar en muchos formatos de gráficos diferentes. Los más comunes se basan en la escala lineal (aditiva) o logarítmica (multiplicativa). La diferencia entre los gráficos lineales y logarítmicos es el espaciado del eje y del gráfico.

• En un gráfico lineal, el espaciado es de igual magnitud; es decir, las divisiones a lo largo del eje vertical (eje y) suponen incrementos iguales para espacios iguales entre ellos.

• En los gráficos logarítmicos, el eje y se escala de manera que las divisiones espaciadas igualmente correspondan a proporciones iguales, no a incrementos iguales.

Veámoslo con más detalle. En un gráfico lineal, el eje y puede variar, por ejemplo, entre 0 y 10 de manera que cada incremento de una unidad está igualmente espaciado entre sí. Hay la misma distancia entre 1 y 2 que entre 4 y 5 o entre 8 y 9. El gráfico se llama lineal o aditivo porque cada división suma la misma cantidad y un aumento constante (lineal) se ve como una línea recta.

Esta representación es la más intuitiva, pero no puede mostrar detalles pequeños cuando las variaciones que tiene que cubrir son muy grandes. Por ejemplo, si representamos el aumento de población mundial desde, digamos, el descubrimiento de América, vemos que el aumento es colosal a partir de mediados del siglo XX, pero hay poco detalle de los siglos anteriores.

El eje y de un gráfico logarítmico se escala en función de las proporciones. Por ejemplo, si una magnitud crece de 1 a 2, es un incremento de 1 pero se ha duplicado (multiplicado por 2). Si la magnitud crece de 2 a 4, es un incremento de 2 pero también se ha duplicado. El eje y se comprimirá hasta que la distancia entre 1 y 2 sea la misma que entre 2 y 4, de manera que pasar al doble de la magnitud, tiene el mismo espaciado en el gráfico, independientemente de cuán alto o bajo sea el valor de la magnitud. Así la distancia entre 1 y 2 será la misma que entre 50 y 100, entre 1.000 y 2.000 o entre 1 millón y 2 millones. Esto es así porque el logaritmo de un número es otro número que indica cuántas veces hay que multiplicar por sí mismo un tercer número tomado como referencia (normalmente el 10) para obtener el número inicial.

La tabla siguiente muestra los logaritmos de los primeros números y cómo, para pasar del logaritmo de 1 al de 10, basta sumar 1, igual que de 10 a 100, o de 3 a 30 o de 50 a 500.

Los gráficos lineales tienen una distancia fija entre incrementos de una magnitud, mientras que los gráficos logarítmicos tienen distancias fijas entre proporciones de la magnitud y pueden mostrar cambios del mismo tamaño relativo con el mismo detalle, independientemente del valor de la magnitud. La figura 1 muestra una comparación entre un gráfico lineal y otro logarítmico, de la población mundial desde el año 1.500.

Fig 1.- Población mundial en escala lineal (arriba) y logarítmica (abajo)

En la representación logarítmica se observa que, durante un siglo, a partir del “descubrimiento” y “conquista” del continente por parte de los europeos, hubo una drástica reducción de la población de América (tanto del norte como del sur). El tamaño del descenso indica que la población de América fue prácticamente diezmada en esa época.  En Oceanía hay un descenso acusado a finales del siglo XVIII, que coincide también con la exploración y “civilización” de las islas del pacífico por Europa y USA. En la misma época la población de América del norte sufre un descenso similar en proporción (pero mucho mayor en cantidad absoluta), que coincide con la “Conquista del Oeste”. Otra cosa que se puede observar es que el rápido crecimiento de la población mundial a partir de mediados del s XX se debe al aumento de población de África y, en mayor medida, de Asia, pues este afecto de “despegue” es muy anterior en América del norte (s XVII), Europa (s XVIII), América del sur y Oceanía (s XIX).

En escala logarítmica una línea recta indica un crecimiento (o decrecimiento) exponencial. Este es el comportamiento descrito por la “ley de Moore” que describe cómo el número de transistores que hay en el chip de un ordenador se duplica cada 18 meses (figura 2)

Fig 2.- Ley de Moore (De Seofilo – http://seofilo.com/que-es-la-ley-de-moore/, CC BY-SA 4.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=74321614)

La figura 3 muestra, también en escala lineal y logarítmica, la evolución de las víctimas del COVID en el año 2020. Un caso reciente que nos ha impactado fuertemente. Como puede verse, solamente en la escala logarítmica se puede determinar claramente el inicio de la pandemia a primeros de marzo, pues en la escala lineal solamente se observa el aumento de las muertes a partir de un número ya muy grande (sobre el 20 de marzo). Hay que destacar que la escala logarítmica no puede incluir nunca el cero, pues una división por debajo del 1 no es el cero, sino 0,1. Igualmente, 2 divisiones nos colocan en 0,01, 3 divisiones en 0,001, etc., pero nunca llegaríamos a cero, aunque podemos acercarnos todo lo que queramos.

Fig 3.-Muertes por COVID a comienzos de 2020. Escala lineal (arriba) y logarítmica (abajo)

Bien, pero ¿cómo se ve un objeto “normal” en escala logarítmica?. Pues este es precisamente el caso que he usado para el título y figura inicial de esta entrada. La jirafa logarítmica es “toda patas”. El detalle está en lo pequeño, las pezuñas, mientras su largo cuello casi ha desaparecido. Para esto no resulta adecuado usar la escala logarítmica, ¿verdad?

Publicado por Manu Barandiaran

Profesor emérito de la Universidad de País Vasco

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